Fachbereich 07: Mathematik und Informatik, Physik, Geographie - Mathematik - Mathematik Master of Science

Dieser Kurs ist die Fortsetzung des Kurses R 3 aus dem/einem vorhergehenden Sommersemester. Beachten Sie bitte die ganz unten aufgeführten notwendigen Voraussetzungen.

Kompetenzziele: Sie erlernen die vertiefte Analyse realer Daten durch lineare Modelle und andere statistische Methoden und Modelle mit der Open-Source-Software R und werden
• die lineare Regression beherrschen,
• in der Lage sein, ein- und mehrfaktorielle Varianzanalysen umzusetzen sowie
• ein bis zwei weitere statistische Methoden kennen gelernt haben.

Modulinhalte:
• Parametrische ein- und zweifaktorielle Varianzanalyse samt multipler (Erwartungswerte-)Vergleiche und
• eine Auswahl aus Themen wie
+ Nichtparametrische ein- und zweifaktorielle Varianzanalyse
+ Lebensdaueranalyse (Zensierte Daten, Schätzung in parametrischen Lebensdauerverteilungsmodellen, nicht-parametrische Schätzung gemäß Kaplan-Meier, Regression mit zensierten Daten im Cox Proportional Hazards Modell)
+ Verallgemeinerte Lineare Modelle wie z. B. Logistisches und Poisson-Regressionsmodell
+ Lineare Modelle mit gemischten Effekten
+ Nichtparametrische Kurvenschätzung, z. B. mittels Kernschätzern und Nearest-Neighbour-Schätzern
+ Nichtlineare Regression

Formales für Studierende des Master-Studienganges Mathematik ist im Modulhandbuch zu finden (siehe z. B. unter https://www.uni-giessen.de/mug/7/findex36.html/7_36_07_3_M in der Anlage 2).

Der Kurs richtet sich an Studierende des Master-Studienganges Mathematik mit Interesse an angewandter Stochastik und an Studierende aus anderen Fachgebieten mit belastbarem mathematisch-statistischem Basiswissen. Kenntnisse aus den Modulen "Grundlagen der Datenanalyse mit R (R 1)", "Statistik und Simulationen mit R (R 2)" und "Lineare Modelle mit R: Regression und Varianzanalyse (R 3)" (oder vergleichbare Kenntnisse) sowie aus grundlegenden Vorlesungen zur Stochastik/Statistik und zur Theorie der linearen Modelle sind unabdingbar notwendig. (Kenntnisse über weitere statistische Modelle sind wünschenswert, aber nicht nötig.)
Um die rechtzeitige Installation der aktuellsten Version von R (4.4.1 seit Juni 2024) muss sich - wie zuvor - vor Beginn des Kurses selbst gekümmert werden.

Siehe bitte die zugehörige Vorlesung.

In dieser Vorlesung betrachten wir kompakte Mannigfaltigkeiten und untersuchen sie mittels Morsefunktionen. Morsefunktionen sind glatte Abbildungen, die endlich viele kritische Werte besitzen und auch nur endlich viele kritische Punkte zulassen. Darüber hinaus versteht man recht genau wie Urbilder nahe einem kritischen Wert lokal um den kritischen Punkt aussehen. Hierdurch ist es möglich interessante Eigenschaften von Mannigfaltigkeiten besser zu verstehen. Die Morsetheorie besitzt weitreichende Konsequenzen für die Differentialtopologie, aber auch für die unendlich-dimensionale Theorie (z.B. in der Variationsrechnung). Wir werden uns lediglich mit dem endlich-dimensionalen Teil befassen, welcher eine ideale Grundlage darstellt, um die Theorie im unendlich-dimensionalen anzuwenden.

Vorkenntnisse: Analysis I und II, Lineare Algebra I und II (hier brauchen wir vor allem den Begriff einer (Unter-) Mannigfaltigkeit und die Definition von glatten Funktionen auf denen. In der Vorlesung wird es dazu noch ein einführendes Kapitel über die Grundlagen geben). Kenntnisse aus der algebraischen Topologie können gegen später hilfreich sein, sind aber nicht notwendig.

In der Vorlesung werden differenzierbare Funktionen f: X \to R betrachtet und es werden kritische Punkte gesucht, also Lösungen der Gleichung Df(x)=0. Hier ist X ein unendlichdimensinaler Hilbert- oder Banachraum. Die klassische Variationsrechnung untersucht die Existenz von Minima, auch wenn f nicht differenzierbar ist. In vielen Anwendungen aus Differentialgeometrie oder Analysis werden aber auch Sattelpunkte gesucht. In der Vorlesung wird die grundlegende Theorie behandelt und auf Differentialgleichungsprobleme angewandt.

Dieser Modul setzt den Modul "Grundlagen der Datenanalyse mit R (R1)" des vorherigen Semesters nahtlos fort und hat ebenso als Hauptanliegen die Anwendung statistischer Verfahren und den praktischen Umgang mit der (open source) Statistik- und Grafik-Software R anhand von realen Datensätzen. Um die rechtzeitige Installation der aktuellsten Version von R (4.4.1 seit Juni 2024) muss sich - wie zuvor in R1 - vor Beginn des Kurses selbst gekümmert werden. Quelle der Software: https://cran.r-project.org (im Bereich "Download and Install R", wohinter sich auch Installationshinweise sowie Links auf die "R FAQ" und die "R for Windows FAQ" finden, deren - zumindest partielle - Lektüre empfehlenswert und hilfreich ist). Achtung: Beim Upgrade auf die Version 4 oder höher von einer Version unter 4 kommend, ist es nötig *sämtliche*, bereits installierten Pakete zu aktualisieren, was wegen gewissen Abhängigkeiten unter divesen Paketen evtl. sogar wiederholt erfolgen muss und einige Zeit in Anspruch nehmen kann.

Kompetenzziele: Sie erlernen anhand realer Daten die Nutzung weiterer statistischer Verfahren sowie die Realisierung von Monte-Carlo-Simulationen in R und sollen
• Inferenzstatistik für univariate Ein- und Mehrstichprobenprobleme sowie für die einfache lineare Regression beherrschen,
• Wahrscheinlichkeitsverteilungen und die Generierung von Pseudo-Zufallszahlen in R nutzen können,
• Prinzipien, Probleme sowie R-spezifische Vor- und Nachteile verschiedener Simulationskonzepte kennen,
• mit Beispielen für Simulationsstudien vertraut sein,
• Simulationsstudien und -ergebnisse präsentieren können.

Als Master-Modul: Die Studierenden sollen lernen, selbstständig Simulationsszenarien zu konzipieren, zu implementieren und die Resultate der Simulation zu präsentieren.

Modulinhalte:
• R-Funktionen für die Inferenzstatistik univariater Ein- und Mehrstichprobenprobleme
• Einführung in die einfache lineare Regression
• Wahrscheinlichkeitsverteilungen und Pseudo-Zufallszahlen
• Simulation des Starken Gesetzes der Großen Zahlen in diversen Beispielen
• eventuell Simulationen auf der Basis von "random walks", z. B. für Ruinprobleme, Geburtsprozesse, Bäume, Markovketten.

Als Master-Modul: Selbstständige Konzeption und Implementation eines ausgewählten Simulationsszenarios samt Präsentation der Simulationsergebnisse.

Formales ist im jeweiligen Modulhandbuch zu finden (für BSc siehe z. B. unter https://www.uni-giessen.de/mug/7/findex35.html/7_35_07_03_Ma in der Anlage 2 und für MSc siehe z. B. unter https://www.uni-giessen.de/mug/7/findex36.html/7_36_07_3_M in der Anlage 2).

Der Kurs richtet sich an Studierende der Mathematik (Bachelor oder Master oder Lehramt an Gymnasien) mit Interesse an angewandter Stochastik und an Studierende aus anderen Fachgebieten mit einem belastbaren statistischen Basiswissen.
Gründliche Kenntnisse aus dem Modul "Grundlagen der Datenanalyse mit R (R1)" sowie Kenntnisse aus den Modulen "Stochastik 1" und "Stochastik 2" (oder gleichwertigen, höheren Vorlesungen über Statistische Methoden) sind notwendig (bzw. zumindest äußerst empfehlenswert).

Siehe bitte die zugehörige Vorlesung.